基于稀疏线性方程完全配件的单纯复形拉普拉斯算子困难性结果

我们研究 $k$ 维单纯复形（$k$-复形）的组合拉普拉斯算子中的线性方程，这是图拉普拉斯算子的自然推广。组合拉普拉斯算子在同调中起着至关重要的作用，是拓扑学的核心工具。除此之外，它们在数据分析和物理建模问题中也有多种应用。已知图拉普拉斯算子存在近线性时间求解器。然而，组合拉普拉斯算子的近线性时间求解器仅在受限的复形类上已知。本文表明，2-复形的组合拉普拉斯算子中的线性方程与一般线性方程一样难以求解。更精确地说，对于任意常数 $c \geq 1$，如果我们能在时间 $\tilde{O}((\# \text{ of nonzero coefficients})^c)$ 内高精度地求解 2-复形的组合拉普拉斯算子中的线性方程，那么我们就能在时间 $\tilde{O}((\# \text{ of nonzero coefficients})^c)$ 内高精度地求解具有多项式有界整数系数和条件数的一般线性方程。我们通过从一般线性方程到 2-复形的组合拉普拉斯算子的近线性时间归约证明了这一点。我们的归约在最多多对数因子范围内保持了问题实例的稀疏性。