组合拉普拉斯算子与复合对的相对同伦

作为 Hodge 拉普拉斯算子的离散化，组合拉普拉斯算子已引起广泛关注。本文研究复合对 $(X, A)$ 上的组合拉普拉斯算子，其中 $A$ 是单纯形复合体 $X$ 的子复合体。我们为复合对建立相对矩阵树定理，该定理既概括了由 Duval、Klivans 和 Martin (2009) 证明的单纯形复合体的矩阵树定理，也概括了 Chung (1996) 关于图对的 Dirichlet 特征值的结果。此外，我们推导了复合对谱间隙的若干下界，并描述了其中一个尖锐下界的等号情况。作为副产品，我们获得了相对同伦消失的充分条件。我们的结果表明，复合对上的组合拉普拉斯算子与相对同伦密切相关。