针对有向拉普拉斯矩阵的稀疏化分块消去法

我们表明，来自 [Kyng-Lee-Peng-Sachdeva-Spielman STOC'16] 的用于求解无向拉普拉斯线性系统的稀疏化分块消去算法可直接用于有向拉普拉斯矩阵。给定对一个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图、耗时 $\mathcal{T}_{\rm S}(m)$ 输出具有 $\mathcal{N}_{\rm S}(n)$ 条边的稀疏器的稀疏化算法，我们的算法在 $n$ 个顶点和 $m$ 条边上的有向欧拉系统求解至 $\epsilon$ 相对精度的时间为 $$O(\mathcal{T}_{\rm S}(m) + {\mathcal{N}_{\rm S}(n)\log {n}\log(n/\epsilon)}) + \tilde{O}(\mathcal{T}_{\rm S}(\mathcal{N}_{\rm S}(n)) \log n),$$ 其中 $\tilde{O}(\cdot)$ 记号隐藏了 $\log\log(n)$ 因子。由先前结果可知，这意味著强连通有向图、PageRank 矩阵和非对称 M 矩阵中线性系统的运行时间得到改进。当与基于短圈分解的较慢但更小的欧拉稀疏器构造结合时，它还给出一个在 $O(n^2 \log^{O(1)} n)$ 预处理后以 $O(n \log^{5}n \log(n / \epsilon))$ 时间运行的求解器。我们分析的核心是对增广矩阵的构造，其舒尔补编码了误差矩阵。