无 minors 图和浅层无 minors 图的分隔定理及其应用

Alon、Seymour和Thomas推广了Lipton和Tarjan的平面分隔定理，并证明了具有$n$个顶点的$K_h$-minor无图存在一个大小至多为$h^{3/2}\sqrt n$的分隔。他们给出了一种算法，对于给定具有$m$条边和$n$个顶点的图$G$以及给定整数$h\geq 1$，能在$O(\sqrt{hn}m)$时间内输出这样一个分隔或$G$的一个$K_h$-minor。Plotkin、Rao和Smith给出了一种$O(hm\sqrt{n\log n})$时间的算法，用于找到大小为$O(h\sqrt{n\log n})$的分隔。Kawarabayashi和Reed将分隔大小的界改进为$h\sqrt n$，并给出了一种算法，对于任意常数$\epsilon > 0$，能在$O(n^{1 + \epsilon})$时间内找到这样一个分隔，但假设$h$是常数。该算法在运行时间上对$h$有极大的依赖性（$h$的某个幂塔，其高度本身是$h$的函数），即使对于较小的$h$也不实用。我们关注对$h$的多项式时间依赖性，并展示了如何找到大小为$O(h\sqrt{n\log n})$的分隔，或在$O(\poly(h)n^{5/4 + \epsilon})$时间内（对于任意常数$\epsilon > 0$）报告$G$有$K_h$-minor。我们还提出了第一个$O(\poly(h)n)$时间算法，用于找到大小为$O(n^c)$（常数$c < 1$）的分隔。作为我们结果的推论，我们得到了改进的最短路径和最大匹配算法。此外，对于整数$\ell$和$h$，我们给出了一种$O(m + n^{2 + \epsilon}/\ell)$时间的算法，该算法要么产生一个深度为$O(\ell\log n)$的$K_h$-minor，要么产生一个大小至多为$O(n/\ell + \ell h^2\log n)$的分隔。当$m = \Omega(n^{1 + \epsilon})$时，这改进了Plotkin、Rao和Smith的浅层minor算法。对于在给定图中寻找最大$K_h$-minor的近似算法，我们也得到了类似的运行时间改进。