完全图与随机图的完美及近完美分离维数

超图 $G$ 的分离维数是最小的自然数 $d$，使得存在 $G$ 到 $\mathbb{R}^d$ 的嵌入，任意一对不相交边都被某个垂直于某一坐标轴的超平面分离。完美分离维数进一步要求任意一对不相交边被相同数量的此类（两两不平行）超平面分离。已知对任意固定的 $r \ge 2$，$n$ 个顶点的 $r$-图的分离维数为 $O(\log n)$，而完美分离维数则大得多。事实上，对于 $r$-一致超图的完美分离维数，尚无多项式上界已知。在我们的第一个结果中，我们基本解决了 $r=2$ 即图的情形。我们证明 $K_n$ 的完美分离维数在 $n$ 中是线性的，至多相差一个小的多对数因子。事实上，我们证明其至少为 $n/2-1$，且至多为 $n(\log n)^{1+o(1)}$。我们的第二个结果证明，几乎所有图的完美分离维数在 $n$ 中也是线性的，至多相差一个对数因子。这作为更一般结果的一个特例得出，该结果表明对于广泛的 $p$ 值（包括所有常数 $p$），随机图 $G(n,p)$ 的完美分离维数以高概率（w.h.p.）为 $\Omega(n p /\log n)$。最后，我们证明，将完美性显著放宽为仅要求 $K_n$ 的任意一对不相交边被分离的次数相同，直至某个绝对常数 $c$ 下的 $c \log n$ 差异，仍要求维数为 $\Omega(n)$。这或许令人惊讶，因为已知若允许 $7\log_2 n$ 的差异，则维数降为 $O(\log n)$。