平面双曲图的分离定理与算法

图的双曲性非正式地衡量一个图在度量上接近树的程。因此它直观上类似于树宽，但二者在形式上不可比。受平面图上算法与分离器及其与树宽关系的广泛研究推动，我们开启有界双曲性平面图的研究。我们的主要技术贡献是针对平面 $\delta$-双曲图的一个新型平衡分离器定理，它比经典平面图分离器定理强得多。对任意固定的 $\delta \geq 0$，我们可找到在图中诱导出单条测地（最短）路径或单个测地圈的平衡分离器。我们分离器的一个重要优势是：分离器（顶点集 $Z$）与 $G - Z$ 的任意连通分量子集的并仍诱导出一个平面 $\delta$-双曲图，而任意分离器无法保证这一点。我们的构造在近线性时间内运行，并保证分离器大小为 $\mathrm{poly}(\delta) \cdot \log n$。作为分离器定理及其强性质的应用，我们在平面 $\delta$-双曲图上获得两种新型近似方案。我们证明最大独立集与旅行商问题对任意常数 $\delta$ 具有近线性时间 FPTAS，运行时间为 $n\, \mathrm{polylog}(n) \cdot 2^{\mathcal{O}(\delta^2)} \cdot \varepsilon^{-\mathcal{O}(\delta)}$。我们还表明在指数时间假设（ETH）下，我们的最大独立集近似方案具有本质上最优的运行时间。这直接源于我们的第三个贡献：我们证明在平面 $\delta$-双曲图上最大独立集没有 $n^{o(\delta)}$ 时间算法，除非 ETH 不成立。