图负曲率参数的快速近似与精确计算

在本文中，我们研究了 Gromov 双曲性及相关参数，这些参数从度量角度表示度量空间（局部）与树的接近程度。测地度量空间的 Gromov 双曲性研究可以归结为图双曲性的研究。本文的主要贡献是图双曲性的一个新刻画。该刻画在大规模网络分析领域具有算法意义。对图双曲性的精确估计十分有用，例如，在将无向图以最小畸变嵌入双曲空间时 [Verbeek and Suri, SoCG'14]。图的双曲性可以在多项式时间内计算，但不太可能在次立方时间内完成。这使得该参数在大型图上难以计算或近似。利用我们对图双曲性的新刻画，我们提供了一种简单的因子 8 近似算法，可在最优时间 $O(n^2)$ 内计算 $n$ 顶点图 $G=(V,E)$ 的双曲性（假设输入为图的距离矩阵）。该算法可推导出与双曲性相关的其他图参数（thinness、slimness 和 insize）的常数因子近似。我们还提出了用于精确计算这些参数的首批高效算法。我们所有的算法均可用于近似测地度量空间的双曲性。我们还证明了双曲性的类似刻画对于所有赋予测地生成树的测地度量空间均成立。在此过程中，我们证明了任何完备测地度量空间 $(X,d)$ 都具有这样的测地生成树。我们希望这一基础结果能在其他背景下发挥作用。