枚举隐蔽 $\mathcal{F}$-自由子图与删除至分散图类的单指数 FPT 算法

著名的重要分隔符概念从技术上界定了图中‘距 $S$ 最远’的小 $(S,T)$-分隔符的数量。本文引入这一强大算法原语的推广，其以 $k$-隐蔽顶点集（即开邻域大小不超过 $k$ 的顶点集）表述。用此术语，重要分隔符的界表明：包含 $S$ 且与 $T$ 不交的极大 $k$-隐蔽连通顶点集 $C$ 至多 $4^k$ 个。我们显著推广该结论：即便要求 $G[C]$ 避开有限禁忌诱导子图集 $\mathcal{F}$，此类极大子图的数量仍为 $2^{O(k)}$ 且可高效枚举。这使我们能显著改进文献中的两个问题。首个应用涉及‘连通 $k$-隐蔽 $\mathcal{F}$-自由子图’问题，其中 $\mathcal{F}$ 为有限禁忌诱导子图集。给定各顶点带正整数的图，问题求最大权连通 $k$-隐蔽顶点集 $C \subseteq V(G)$ 使得 $G[C]$ 不含同构于任意 $F \in \mathcal{F}$ 的诱导子图。按 $k$ 参数化已知通过递归理解技术可在三指数时间内求解，我们改进为单指数。第二个应用涉及至分散图类的删除问题。其任务是求大小不超过 $k$ 的顶点集，移除后所得图的每个连通分支属于指定图类 $\Pi_1, \ldots, \Pi_d$ 之一。当每个类 $\Pi_i$ 由有限个禁忌诱导子图刻画时，我们得到单指数算法。这推广并改进了文献中早前结果。