删除至分散图类 II——面向图类对的改进 FPT 算法

设 $\Pi$ 为一个遗传图类。删除至 $\Pi$ 问题以图 $G$ 为输入,要求删除 $G$ 中最小数量(或固定整数 $k$)的顶点,使所得图属于 $\Pi$。这是在近似与参数化复杂度等范式下被充分研究的问题。近来,该问题的一个自然推广被提出:给定有限个遗传图类,目标是判断能否从给定图中删除 $k$ 个顶点,使所得图的连通分支属于给定遗传图类之一。只要到每个给定遗传图类的删除问题是固定参数可处理的,且属于任一图类的性质可用计数一元二阶(CMSO)逻辑表达,该问题即被证明是 FPT 的。尽管这是利用若干黑箱定理证明的,但当每个遗传图类具有有限禁用集时,已有更快的算法。本文深入探讨我们期望所得图连通分支所属的特定图类对 ($\Pi_1, \Pi_2$),并设计更简单高效的 FPT 算法。我们针对满足特定条件的图类对(可能具有无限禁用集)设计了一个通用 FPT 算法与近似算法。这些算法覆盖了若干流行的图类对。我们的算法非平凡地使用了分支技术,并以到单个图类的删除 FPT 算法作为黑箱。