通过顶点分裂建立遗传图性质的计算复杂性研究

顶点分裂是一种图操作，它将一个顶点 $v$ 替换为两个不相邻的新顶点，并使 $v$ 的每个邻居与其中一个或两个新顶点相邻。顶点分裂已被用于从电路设计到统计分析的多种场景。本文中，我们探讨了通过有限次数的顶点分裂来达成给定图性质 $\Pi$ 的计算复杂性，该问题被形式化为 $\Pi$ 顶点分裂 ($\Pi$-VS) 问题。我们专注于遗传图性质，并贡献了四组结果：首先，我们对由大小至多为 3 的禁止子图所刻画的图性质的 $\Pi$-VS 经典复杂性进行了分类。其次，我们提供了一个框架，该框架允许在能够构造出满足特定条件的禁止子图与指定顶点分裂的组合时，证明 NP-完全性。利用此框架，我们证明了当 $\Pi$ 由充分良好连接的禁止子图刻画时，问题是 NP-完全的。特别地，我们证明了对每个双连通图 $F$，$F$-Free-VS 是 NP-完全的。第三，我们研究了无限族禁止子图，得到了 Bipartite-VS 和 Perfect-VS 的 NP-困难性。最后，我们触及了 $\Pi$-VS 关于允许分裂次数的参数化复杂性，证明了 $K_3$-Free-VS 的 para-NP-困难性，并推导出当每个顶点最多只允许分裂一次时的 XP 算法。