路径宽度至多为 1 的顶点分裂的 parameterized 复杂性

受 2 层直线绘图的平面化驱动，我们考虑修改图使其所得图路径宽度至多为 1 的问题。Pathwidth-One Vertex Explosion（POVE）问题询问是否可使用至多 $k$ 次顶点爆炸得到这样的图，其中一次顶点爆炸将顶点 $v$ 替换为 deg$(v)$ 个 1 度顶点，每个顶点恰与一条原本关联于 $v$ 的边相连。对于 POVE，我们给出运行时间 $O(4^k \cdot m)$ 的 FPT 算法以及 $O(k^2)$ 核，从而在更一般设定下改进了 Ahmed 等人 [GD 22] 的 $O(k^6)$ 核。类似地，一次顶点分裂将顶点 $v$ 替换为两个不同的顶点 $v_1$ 和 $v_2$，并将原本关联于 $v$ 的边任意分配给 $v_1$ 和 $v_2$。类比 POVE，我们定义使用分裂操作而非顶点爆炸的问题变体 Pathwidth-One Vertex Splitting（POVS）。此处我们得到线性核以及运行时间 $O((6k+12)^k \cdot m)$ 的算法。这回答了 Ahmed 等人 [GD22] 的一个开放问题。最后，我们考虑问题 $\Pi$ Vertex Splitting（$\Pi$-VS），它推广了 POVS 问题，询问给定图是否可使用至多 $k$ 次顶点分裂变为特定图类 $\Pi$ 的图。对于可在一元二阶图逻辑（MSO$_2$）中测试的图类 $\Pi$，我们展示 $\Pi$-VS 问题可表述为 MSO$_2$ 公式，从而在 $\Pi$ 额外具有有界树宽时得到关于参数 $k$ 的 $\Pi$-VS 的 FPT 算法。对使用顶点爆炸的问题变体我们得到相同结果。