簇顶点分裂及相关问题的计算复杂性

当簇可以重叠时对图进行聚类可从三个不同角度看待：我们可寻找以有界重叠覆盖图边的团，可寻找添加或删除少量边以揭示簇结构，或可分裂顶点以将各簇彼此分离。分裂顶点$v$是指移除它并添加$v$的两个新副本，使$v$的每个先前邻居至少与其中一个副本相邻。在这项工作中，我们研究了关于重叠聚类的三个角度的底层计算问题，特别是当重叠较小时。我们表明上述覆盖问题是NP完全的。然后我们作出结构观察，表明覆盖视角与顶点分裂视角等价，从而得出顶点分裂问题的NP困难性。在正面结果方面，我们表明分裂至多$k$个顶点以获得簇图具有含$O(k)$个顶点的问题核。最后，我们观察到将我们的困难结果与所谓的临界团引理相结合，可得带顶点分裂的簇编辑（Cluster Editing with Vertex Splitting）的NP困难性，该问题此前是开放的（Abu-Khzam等人[ISCO 2018]），且由Arrighi等人[IPEC 2023]独立证明为NP困难。我们观察到临界团引理的一个先前版本是有缺陷的；此后出现了修正版本，我们的困难结果基于该修正版本。