顶点覆盖问题基态结构的聚类分析

顶点覆盖是图论中的经典 NP 完全问题之一。图的顶点覆盖是顶点子集，使得每条边的两个端点至少有一个包含在子集中。在以埃尔德斯-伦兹随机图（ Connectivity c）为例时，观察到阈值行为：在热力学极限下，最小顶点覆盖的大小与具体图无关。最近的解析研究表明，在相边界上，当连接度 c < e 时，系统呈复制对称性，而当连接度更大时出现复制对称性破缺。这种变化与算法运行时间从多项式转为指数衰减的典型运行时间变化相吻合。为理解这种行为的原因并与解析结果进行比较，我们对解的景观结构进行数值分析。为此，我们还开发了一种允许计算骨干而无需枚举所有解的算法。我们研究了使用分支-界限算法找到的精确解以及通过蒙特卡洛模拟获得的配置。通过直接聚类状态、分析相关矩阵特征谱并使用层次聚类方法，我们分析了解景观的簇结构。所有结果均与 c = e 处的变化相符。对于小连接度，解收集在有限少数簇中，而对于较大的连接度和复制对称性破缺，簇的数量随系统规模缓慢发散，但不发生 1-复制对称性破缺。