有限连通随机图顶点覆盖相变的统计力学视角

研究了具有$N$个顶点和$cN$条边的随机图$G_{N,cN}$上的顶点覆盖问题。通过分支定界算法获得了精确的数值结果。发现覆盖性在依赖于$c$的阈值$x=x_c(c)$处出现转变，其中$xN$是顶点覆盖的基数。该转变与典型数值计算量的尖锐峰值重合，该计算量用于判断是否存在大小为$xN$的顶点覆盖。对于小的边浓度$c\ll 0.5$，进行了簇展开，在该范围内给出了非常精确的结果。利用统计物理学中发展的方法对这些结果进行了扩展。所谓的退火近似再现了先前已知的关于$x_c(c)$的严格界。论文的主要部分包含了对复制方法的应用。在复制对称假设下，可以计算阈值$x_c(c)$和临界骨架尺寸$b_c(c)$。对于$c<e/2$，结果与数值发现显示出极好的一致性。在平均顶点度$2c=e$处，出现了简单复制对称解的不稳定性。