极小图自由图中的捷径划分：Steiner点移除、距离预言机、树覆盖等

捷径划分的概念由Chang、Conroy、Le、Milenkovi\'c、Solomon和Than [CCLMST23]近期提出，是一种新型的低直径簇图划分。粗略而言，捷径划分保证对图中任意两顶点 $u$ 和 $v$，存在一条仅与少数簇相交的 $u$-$v$ 路径。他们证明了任意平面图均容许捷径划分，并给出若干应用，包括为任意平面图构造拉伸因子 $1+\varepsilon$、树棵数 $O(1)$（任意固定 $\varepsilon \in (0,1)$）的树覆盖。然而该构造在多步中重度依赖平面性，因此本质上限于平面图。本文中我们突破“平面性障碍”，为任意 $r$ 构造 $K_r$-极小自由图的捷径划分。为此我们采取完全不同路径——关键贡献是极小自由图中cop分解的新确定性变体 [And86, AGG14]。我们对 $K_r$-极小自由图的捷径划分带来若干直接应用。最显著的是，我们构造了首个 $K_r$-极小自由图的最优距离预言机，具有 $1+\varepsilon$ 拉伸、线性空间与常数查询时间（任意固定 $\varepsilon \in (0,1)$）。先前最佳距离预言机 [AG06]使用 $O(n\log n)$ 空间与 $O(\log n)$ 查询时间，其构造依赖Robertson-Seymour结构定理及其他复杂工具。我们还获得了极小自由图的首个大小为 $O(1)$、拉伸 $1+\varepsilon$ 的树覆盖，而先前最佳 $(1+\varepsilon)$-树覆盖大小为 $O(\log^2 n)$ [BFN19]。