随机游走与禁用子式 III：minor-free 图类的 poly(d/ε)-时间划分预言机

考虑任意禁用子式封闭族（如平面图）中的有界度图族。令 d 为度界，n 为该类图的顶点数。这些类中的图具有超有限分解，其中对于足够小的 ε > 0，移除 εdn 条边可得到大小与 n 无关的连通分量。用于此类子线性算法与性质测试的重要工具是由 Hassidim-Kelner-Nguyen-Onak 的开创性工作（FOCS 2009）引入的划分预言机。划分预言机是一种局部过程，无需任何预处理即可一致地访问超有限分解。给定查询顶点 v，划分预言机在独立于 n 的时间内输出包含 v 的分量。所有答案与单一超有限分解一致。Hassidim 等人的划分预言机每次查询运行时间为 d^poly(d/ε)。他们提出了是否存在 poly(d/ε)-时间划分预言机的开放问题。Levi-Ron（ICALP 2013）对先前方法进行了改进，得到了每次查询运行时间为 d^{log(d/ε)} 的划分预言机。本文中，我们解决了该开放问题，并为任意禁用子式封闭族中的有界度图给出了 poly(d/ε)-时间划分预言机。与之前基于组合方法的工作不同，我们采用了谱图论技术。我们建立在作者近期为开发高效性质测试器而引入的、用于禁用子式封闭图族的谱图论工具包之上。我们结果的一个推论是针对禁用子式封闭族任意单调可加性质（如二部平面图）的 poly(d/ε)-查询测试器。我们的结果还为这些图族的最大匹配、最小顶点覆盖、最大独立集和最小支配集等问题给出了 poly(d/ε)-查询的加性 εn-近似算法。