近线性时间内求解带权图的KT划分

在一项突破性工作中，Kawarabayashi和Thorup（J. ACM'19）给出了简单图$G = (V,E)$中最小割的近线性时间确定性算法。其中一个关键组成部分是求$G$的$(1+\varepsilon)$-KT划分，即$V$的最粗划分$\{P_1, \ldots, P_k\}$，使得对于每个非平凡的$(1+\varepsilon)$-近最小割，其两侧为$\{S, \bar{S}\}$时，对$i=1, \ldots, k$均有$P_i$包含于$S$或$\bar{S}$之一。本文给出一种近线性时间的随机算法来求带权图的$(1+\varepsilon)$-KT划分。我们的算法与Kawarabayashi和Thorup的算法颇为不同，并建立在Karger的树尊重割框架（J. ACM'00）之上。我们描述了该算法的应用。（i）该算法在推进更高效的图近最小割集合多边形表示构造算法方面取得进展。这是对Benczúr（FOCS'95）最初描述的仙人掌表示的推广。（ii）我们将邻接表模型下简单图最小割的最近量子算法的时间复杂度从$\widetilde O(n^{3/2})$改进到$\widetilde O(\sqrt{mn})$。（iii）我们描述了一种复杂度为$O(m + n \log^6 n)$的新型简单图最小割随机算法。对于略稠密的图，这与当前最佳的$O(m + n \log^2 n)$算法复杂度相匹配，后者使用了基于随机收缩的不同方法。我们工作的关键技术贡献如下。给定带权图$G$（含$m$条边）和生成树$T$，考虑图$H$，其节点为$T$的边，且$H$中两节点间有边当且仅当对应的2-尊重割是$G$的非平凡近最小割。我们给出一种$O(m \log^4 n)$时间的确定性算法来计算$H$的生成森林。