所有非平凡最小割的紧致仙人掌表示

最近，Kawarabayashi 和 Thorup 提出了第一个近线性时间的确定性边连通性识别算法。他们算法中的一个关键步骤利用了简单图 $G$（含 $n$ 个顶点）的顶点子集的存在性，这些子集的收缩留下一个具有 $\tilde{O}(n/\delta)$ 个顶点和 $\tilde{O}(n)$ 条边多重图，并保持了 $G$ 的所有非平凡最小割，其中 $\delta$ 是 $G$ 的最小度，$\tilde{O}$ 隐藏了对数因子。我们给出了一个简单论证，通过消除多对数因子来改进这种基于收缩的稀疏化器，即我们展示了一种基于收缩的稀疏化，留下 $O(n/\delta)$ 个顶点和 $O(n)$ 条边，保持所有非平凡最小割，并可在近线性时间 $\tilde{O}(m)$ 内计算，其中 $m$ 是 $G$ 的边数。我们还得到每个简单图有 $O((n/\delta)^2)$ 个非平凡最小割。我们的方法允许用仙人掌表示来表示图的所有非平凡最小割，其仙人掌图有 $O(n/\delta)$ 个顶点。此外，该仙人掌表示可直接从所有最小割的标准仙人掌表示在线性时间内导出。我们应用这一紧凑结构表明，对于所有简单图，所有最小割可在 $\tilde{O}(m) + O(n^2 / \delta)$ 时间内被显式列出，这改进了 Gusfield 和 Naor 给出的先前最佳时间界 $O(nm)$。