最小$k$-割的数量：改进Karger-Stein界

给定一个边加权图，它最多可以有多少个最小$k$-割？这是算法、极值组合论与图论交叉领域的一个基本问题。其特别有趣之处在于已知最佳界是算法性的：它们源于计算最小$k$-割的算法。1994年，Karger和Stein获得了一种随机收缩算法，可在$O(n^{(2-o(1))k})$时间内找到一个最小$k$-割。该算法也可在相同运行时间内枚举所有此类$k$-割，从而建立了相应的$O(n^{(2-o(1))k})$极值界。此后，最小$k$-割问题的算法方面取得了诸多进展，导致了基于Thorup的树打包结果的确定性算法，该算法在相同渐近运行时间内枚举所有最小$k$-割，并给出了$O(n^{(2-o(1))k})$界的另一种证明。然而，即便对于计算单个最小$k$-割，突破Karger–Stein界一直未能实现。在本文中，我们给出一种在$O(n^{(1.981+o(1))k})$时间内枚举所有最小$k$-割的算法，打破了枚举最小$k$-割的算法与极值壁垒。为获得该结果，我们结合了Karger–Stein与Thorup结果的思路，并建立了最小$k$-割与极值集合论之间的新联系。特别地，我们给出并使用了具有有界对偶VC维的集合系统大小的更紧界，这或许具有独立意义。