通过极大隔离最小割在多项式对数最大流下构造仙人掌表示

Dinitz 等人于 1976 年引入的图仙人掌表示，是一种大小为 $O(n)$ 的边稀疏化器，精确捕获图的所有全局最小割。它是一个核心组合对象，几乎是全部连通性增强问题算法以及边插入下维护最小割算法（例如 [NGM97]、[CKL+22]、[Hen97]）的关键要素。该稀疏化器被推广到顶点集 $T$ 的 Steiner 仙人掌，可视为大小为 $O(|T|)$ 的顶点稀疏化器，捕获对应于 $T$-Steiner 最小割的 $T$ 的所有划分，以及超仙人掌——超图中的类似概念。这些推广进一步将仙人掌的应用扩展到 Steiner 与超图设定。在关于仙人掌及其推广快速构造的长期工作中，[Karger and Panigrahi 2009] 给出了近线性时间构造仙人掌的结果。遗憾的是，他们基于树打包的技术本质上无法推广。Steiner 仙人掌与超仙人掌的最先进算法仍分别比线性时间慢 $\Omega(|T|)$ [DV94] 与 $\Omega(n)$ [CX17] 的因子。我们展示了如何使用多项式对数次最大流调用来构造 Steiner 仙人掌与超仙人掌，从而给出这两个问题的首个近线性时间算法。这些构造立即意味着 Steiner 与超图设定下的近线性时间连通性增强算法，并将超图中维护最小割的增量算法加速 $n$ 倍。我们结果背后的关键技术是我们称为极大隔离最小割的、有影响力的隔离最小割技术 [LP20, AKL+21] 的新变体。该技术使隔离最小割“更平衡”，我们相信其在未来应用中可能有用。