如何保护自己免受威胁骨架：针对无小型图的最优填充分解

大致上，度量空间的填充参数为 $\beta$，当且仅当对于每一个 $\Delta>0$，存在一种随机分解，将度量点划分为直径至多为 $\Delta$ 的簇，使得每个半径为 $\gamma\Delta$ 的球以概率至少为 $e^{-\gamma\beta}$ 被包含在单个簇中。填充参数是度量空间的一个重要特征，对算法具有广泛的意义。在本文中，我们证明，每张 $K_r$ 小型图的最短路径度量具有填充参数 $O(\log r)$，该界也是紧致的。这解决了一个长期悬置的开放问题，显著改进了之前的界限。为实现主要结果，我们构建了针对 $K_r$ 小型图的稀疏覆盖，参数得到改进，并证明了从稀疏覆盖到填充分解的一般性化简。