Okamura-Seymour度量的改进压缩

设 $G=(V,E)$ 为一个无向无权平面图。考虑一个向量，它存储从任意顶点 $v$ 到单个面上所有顶点 $S = \{ s_1 , s_2 , \ldots , s_k \}$ 按其循环顺序排列的距离。$v$ 的模式是通过取该向量每对连续值之间的差来获得的。在STOC'19上，Li和Parter使用VC维论证表明，在平面图中，不同模式的数量（记为 $x$）仅为 $O(k^3)$。这产生了一种简单的压缩方案，需要 $\tilde O(\min \{ k^4+|T|, k\cdot |T|\})$ 空间来编码 $S$ 与终端顶点子集 $T \subseteq V$ 之间的距离。这被称为Okamura-Seymour度量压缩问题。我们给出了 $x=O(k^3)$ 界限的另一种证明，该证明利用了超出VC维论证的平面性。即，我们的证明依赖于割-圈对偶性，以及 $S$ 中顶点之间的距离受限于 $k$ 这一事实。我们的方法意味着以下结果：(1) Okamura-Seymour度量的 $\tilde{O}(x+k+|T|)$ 空间压缩，从而将Li和Parter的压缩改进为 $\tilde O(\min \{k^3+|T|,k \cdot |T| \})$。(2) 在 $T$ 的顶点在 $G$ 中诱导出一个连通分量的情况下，Okamura-Seymour度量的最优 $\tilde{O}(k+|T|)$ 空间压缩。(3) 对于Halin图族，$x = \Theta(k^2)$ 的紧界，而VC维论证仅限于显示 $x=O(k^3)$。