近似保持终端距离的图子式——下界与上界

给定一个顶点被划分为 $k$ 个终端和非终端的图，目标是通过子式操作压缩图（即减少非终端数量），同时近似保持终端距离。压缩图的失真度是所有终端对之间距离的最大乘法膨胀因子。我们研究非终端数量与失真度之间的权衡。该问题推广了斯坦纳点移除（Steiner Point Removal, SPR）问题，后者要求移除所有非终端。我们引入了一种新颖的黑盒归约，可将 SPR 问题的任何失真度下界转换为我们问题中具有相同失真度的非终端数量的超线性下界。这使我们能够证明存在这样的图：每个失真度小于 $2~/~2.5~/~3$ 的子式必须具有 $\Omega(k^2)~/~\Omega(k^{5/4})~/~\Omega(k^{6/5})$ 个非终端，以及介于两者之间的更多权衡。该黑盒归约有一个有趣的结果：如果 SPR 问题的失真度紧下界是超常数的，那么允许任意 $O(k)$ 个非终端也无助于将该下界改进为常数。我们还基于关于 spanners、距离预言机（distance oracles）和连通 0-扩展（connected 0-extensions）的现有结果，给出了一般图、平面图、排除固定子式的图和有限树宽图的一系列上界。其中，我们证明任何图都允许一个具有 $O(\log k)$ 失真度和 $O(k^{2})$ 个非终端的子式，并且任何平面图都允许一个具有 $1+\varepsilon$ 失真度和 $\widetilde{O}((k/\varepsilon)^{2})$ 个非终端的子式。