将度量嵌入ultrametric以及将图嵌入生成树: 以常数平均失真为保证

本文关注如何使树良好地近似度量空间或图的距离。给定图，构建一个能够强力保持图中距离的生成树，是网络设计中的一个基本问题。我们提出了尺度失真嵌入，其中失真随 $\epsilon$ 的函数而变化，保证对于每个 $\epsilon$，失真小于等于该值的配对比例为 $1-\epsilon$。这种界限特别地意味着平均失真和 $\ell_q$ 失真都很小。具体而言，我们的嵌入具有常数平均失真和 $O(\sqrt{\log n})$ 的 $\ell_2$ 失真。这源于以下结果：我们证明任何度量空间可嵌入到ultrametric，尺度失真为 $O(\sqrt{1/\epsilon})$。对于图的情况，我们证明任何加权图包含一个尺度失真为 $O(\sqrt{1/\epsilon})$ 的生成树。即使对于嵌入到任意树的情况，这些界限也紧密。对于概率性嵌入到生成树，我们证明尺度失真为 $\tilde{O}(\log^2 (1/\epsilon))$，这意味着每个固定的 $q<\infty$ 的 $\ell_q$ 失真为常数。