平面拟度量到有向 $\ell_1$ 的嵌入及有向最稀疏割的多项式对数近似

多商品流-割间隙是影响若干分治算法性能的基本参数，并已针对各类无向图被广泛研究。Linial、London 和 Rabinovich 以及 Aumann 和 Rabani 已证明，对一般 $n$ 顶点图，该间隙被 $O(\log n)$ 所界，且 Gupta-Newman-Rabinovich-Sinclair 猜想断言，对任何排除某固定次要图的图族，其为 $O(1)$。我们证明，\emph{有向}平面图上的多商品流-割间隙为 $O(\log^3 n)$。这是对任何超常数树宽的有向图族的第一个 \emph{亚多项式} 界。我们注意到，对一般有向图，Chuzhoy 和 Khanna 已证明该间隙为 $\widetilde{\Omega}(n^{1/7})$，即使对有向无环图亦然。作为我们结果的直接推论，我们还获得了针对有向平面图的 directed non-bipartite sparsest-cut（有向非二部最稀疏割）和 directed multicut（有向多割）问题的首个多项式时间多项式对数近似算法，其推广了 Rao 关于无向平面图的长久结果（界稍弱）。我们结果的核心在于研究到低失真拟度量嵌入到 \emph{有向} $\ell_1$。更确切地说，我们为平面有向图的最短路径拟度量空间构造了 $O(\log^2 n)$ Lipschitz 拟划分，其推广了度量嵌入理论中的 Lipschitz 划分概念。该构造结合了双 Lipschitz 嵌入理论的想法与有向平面图数据结构工具。