以连通性为参数的模仿网络

给定图 $G=(V,E)$、边上的容量 $w(e)$ 以及终端子集 $\mathcal{T} \subseteq V: |\mathcal{T}| = k$，$(G,\mathcal{T})$ 的模仿网络是一个图 $(H,w')$，其包含 $\mathcal{T}$ 的副本，并保留分隔任意终端子集 $A, B \subseteq \mathcal{T}$ 的最小割值。已知存在大小为 $2^{2^k}$ 的模仿网络且可算法化构造，而已知最佳下界为 $2^{\Omega(k)}$；因此，若旨在精确保留割，则需要指数大小。本文研究精确保留图连通性至值 $c$ 的模仿网络，其中 $c$ 为参数。我们将阐述，这种模仿网络的概念对部分应用已足够。我们首先证明存在大小为 $3^c \cdot k$ 的模仿网络，即我们可以用关于 $k$ 线性的网络保留小容量割。接着，我们给出一个算法，可在时间 $2^{O(c^2)} \operatorname{poly}(m)$ 内找到此类模仿网络。