精确流稀疏化需要无界大小

给定一个大型边容量网络$G$和一个称为终端的$k$个顶点子集，一个（精确）流稀疏化器是一个小网络$G'$，它（精确）保留所有可在终端间路由的多商品流。流稀疏化器由Leighton和Moitra[STOC 2010]提出，并已在许多算法背景下被研究和应用。一个悬而未决超过十年的基本问题是：是否每个$k$终端网络都存在一个大小由某函数$f(k)$界定（无论$G$的大小或其容量如何）的精确流稀疏化器。我们以否定的方式解决了该问题，证明存在$6$终端网络$G$，其流稀疏化器$G'$必须具有任意大的大小。这种无界性或许令人惊讶，因为保留所有终端割的类似稀疏化（称为精确割稀疏化器或模仿网络）存在大小$f_0(k)\leq 2^{2^k}$的稀疏化器[Hagerup, Katajainen, Nishimura, and Ragde, JCSS 1998]。我们通过分析网络中称为需求多面体的所有可行需求集合来证明我们的结果。我们识别了该多面体的一个不变量，本质上是某些面的斜率，即使对于$k=6$也可任意大，并隐含了网络大小的显式下界。我们进一步使用此技术以否定的方式回答了Seymour[JCTB 2015]关于仅使用收缩并保留一个需求向量不可行性的流稀疏化的一个开放问题。