度量扩展算子、顶点稀疏化与Lipschitz可扩展性

我们研究Moitra以及Leighton和Moitra最近引入的顶点割和流稀疏化。我们改进并推广了他们的结果。我们给出了一种新的多项式时间算法，用于构造O(log k / log log k)割和流稀疏化，匹配了稀疏化质量的最佳存在性上界，并改进了先前O(log^2 k / log log k)的算法上界。我们证明流稀疏化可以从逼近最小度量扩展的线性算子中获得。我们引入了（线性）度量扩展算子的概念，证明了它们的存在性，并给出了寻找最优算子的精确多项式时间算法。然后，我们建立了流和割稀疏化与Banach空间中映射的Lipschitz可扩展性之间的直接联系，后者是自1930年代以来泛函分析中研究的一个概念。利用这一联系，我们证明了流稀疏化的下界为Omega(sqrt{log k/log log k})，割稀疏化的下界为Omega(sqrt{log k}/log log k)。我们证明，如果Ball在1992年提出的某个开放问题有肯定答案，那么存在\tilde O(sqrt{log k})割稀疏化。另一方面，任何优于\tilde Omega(sqrt{log k})的割稀疏化下界都将意味着该问题的否定答案。