关于 $(1+\varepsilon)$-近似流稀疏化器

给定一个大型图 $G$ 及其顶点子集 $|T|=k$（称为终端），质量-$q$ 流稀疏化器是一个包含 $T$ 的小图 $G'$，它在因子 $q$ 范围内保持 $T$ 中终端间可路由的所有多商品流。构造具有良好（小）质量和（小）尺寸的流稀疏化器数十年来一直是图压缩中的核心问题。大多数先前构造所采用的构造 $O(1)$ 质量流稀疏化器的自然方法是收缩（contraction）。Andoni、Krauthgamer 和 Gupta 构造了一个大小为 $f(k,\varepsilon)$ 的草图，该草图以 $(1+\varepsilon)$ 的因子存储所有可行多商品流，提出了构造质量-$(1+\varepsilon)$ 且尺寸仅依赖于 $k,\varepsilon$（而不依赖于输入图 $G$ 的顶点数）的流稀疏化器的问题，并利用其草图结果提出了一个基于此的基于收缩的框架。在本文中，我们通过证明对所有 $5$-终端图存在尺寸为 $f(\varepsilon)$ 的质量-$(1+\varepsilon)$ 基于收缩的流稀疏化器，但对所有 $6$-终端图不存在，解决了他们关于基于收缩的流稀疏化器的问题。我们在 $6$-终端图上的困难性结果改进了 Krauthgamer 和 Mosenzon 近期关于精确（质量-$1$）流稀疏化器在基于收缩构造上的困难性结果。我们的构造与证明利用了度量几何中紧致跨度（tight spans）的概念，我们相信这是未来工作中一个强有力的工具。