关于通过线性草图绘制的加权图稀疏化

[Ahn-Guha-McGregor, PODS'12] 的开创性工作表明,可以通过对无权重无向图进行近线性数量的线性测量来计算其割稀疏化器。后续工作也研究了使用线性草图绘制计算其他图稀疏化器,并获得了谱稀疏化器的近线性上界 [Kapralov-Lee-Musco-Musco-Sidford, FOCS'14] 以及 spanner 的首个非平凡上界 [Filtser-Kapralov-Nouri, SODA'21]。然而,所有这些线性草图绘制算法仅适用于无权重图。在本文中,我们通过研究一类自然的线性草图 (我们称之为关联草图,其中每次测量是单个顶点上关联边权重的线性组合) 来启动对通过线性草图绘制进行加权图稀疏化的研究。我们的结果是:1. 加权割稀疏化:我们给出了一种使用 $\tilde{O}(n \epsilon^{-3})$ 次线性测量计算 $(1 + \epsilon)$-割稀疏化器的算法,该算法近乎最优。2. 加权谱稀疏化:我们给出了一种使用 $\tilde{O}(n^{6/5} \epsilon^{-4})$ 次线性测量计算 $(1 + \epsilon)$-谱稀疏化器的算法。作为对算法的补充,我们随后证明了使用关联草图计算某些 $O(1)$-谱稀疏化器需要 $\Omega(n^{21/20-o(1)})$ 次测量的超线性下界。3. 加权 spanner 计算:我们关注最大/最小边权相差 $O(1)$ 因子的图,并证明对于关联草图,[Filtser-Kapralov-Nouri, SODA'21] 获得的上界在 $n^{o(1)}$ 因子内是最优的。