单源最短路的近优规模权重容错子图

本文研究了计算加权有向图稀疏子图的问题，使得在受限权重增量下，从指定源顶点到所有其他顶点的精确距离得以保持。寻找保持任意顶点对之间距离的小规模子图是一个已被广泛研究的问题。由于现实世界中的任何网络都易发生故障，研究上述问题的容错版本是自然的。然而，事实证明，即使在单边故障下，也可能不存在这样的稀疏子图 [Demetrescu 等人 '08]。但在实际应用中，网络中的链路（边）并不总是完全故障，而是可能变得更为拥堵，这可以通过增加相应边的权重来轻易捕捉。因此，尝试在上述权重增量模型下构建稀疏距离保持子图是有意义的。据我们所知，此前尚未对此问题进行过研究。在本文中，我们证明了对于任意具有 $n$ 个顶点和一个源顶点的加权有向图，可以构造一个包含至多 $e \cdot (k-1)!2^kn$ 条边的子图，只要总权重增量受限于 $k$，且我们仅允许每条边具有整数值（可为负）权重，同时边的权重只能增加某个正整数，该子图就能保持源点与所有其他顶点之间的距离。接下来，我们证明了子图规模的下界为 $c\cdot 2^kn$，其中常数 $c \ge 5/4$。我们还论证了整数值权重和整数值权重增量的限制实际上是必不可少的，因为如果移除这两个限制中的任何一个，我们可能需要存储 $\Omega(n^2)$ 条边才能保持距离。