近最优容错强连通保持子图

有向$n$顶点图$G$的$k$-容错连通保持子图$H$是指：对于任意边集$F \subseteq E(G)$满足$|F| \le k$，$G - F$和$H - F$的强连通分量相同。虽然某些图需要$\Omega(2^{k}n)$条边的保持子图[BCR18]，但已知的上界为$\tilde{O}(k2^{k}n^{2-1/k})$条边[CC20]，留下了$\Omega(n^{1-1/k})$的显著差距。相比之下，无向图中不存在差距；$\Theta(kn)$的最优界自90年代以来已得到很好确立[NI92]。我们几乎缩小了有向图的差距；我们证明存在一个具有$O(k4^{k}n\log n)$条边的$k$-容错连通保持子图，并且可以在$\text{poly}(2^{k}n)$时间内构造一个具有$O(8^{k}n\log^{5/2}n)$条边的保持子图。我们的结果也改进了密切相关对象的最新状态；$G$的$k$-连通保持子图$H$是指：对于所有$i \le k$，$G$和$H$的强$i$-连通分量一致。通过已知的归约，我们获得了具有$O(k4^{k}n\log n)$条边的$k$-连通保持子图，改进了之前的最佳界$\tilde{O}(k2^{k}n^{2-1/(k-1)})$[CC20]。因此，对于任意常数$k$，我们的结果对两个问题而言都是最优的（差一个$\log n$因子）。最后，我们通过给出一个具有$O(n\sqrt{kn})$条边的构造，证明了$k$-连通保持子图中指数依赖于$k$并非固有。