最优顶点容错生成图（针对固定拉伸）

图 $G$ 的 $k$-生成图是一个稀疏子图 $H$，其最短路径距离与 $G$ 的最短路径距离至多相差一个乘性误差 $k$。在本文中，我们研究抗故障的生成图。如果对于任意可能“失效”的 $f$ 个顶点的小集合 $F$，$H \setminus F$ 都是 $G \setminus F$ 的 $k$-生成图，则子图 $H \subseteq G$ 是一个 $f$ 顶点容错(vertex fault tolerant, VFT) $k$-生成图。该领域的主要问题之一是：适用于所有 $n$ 节点图的 $f$ 容错 $k$-生成图的最小规模是多少（作为 $f$、$k$ 和 $n$ 的函数）？这个问题最初在几何图的背景下被研究 [Levcopoulos 等 STOC '98, Czumaj 和 Zhao SoCG '03]，最近在一般无向图中也被考虑 [Chechik 等 STOC '09, Dinitz 和 Krauthgamer PODC '11]。在本文中，我们在拉伸因子 $k$ 固定的设定下，解决了 VFT 生成图最优规模的问题。具体而言，我们证明每个（无向、可能带权的）$n$ 节点图 $G$ 都有一个具有 $O_k(f^{1 - 1/k} n^{1 + 1/k})$ 条边且能抵御 $f$ 个顶点故障的 $(2k-1)$-生成图，并且这是完全最优的（除非著名的 Erdos Girth 猜想不成立）。我们的下界甚至可以推广，意味着任何能够类似地近似 $dist_{G \setminus F}(s, t)$ 的数据结构在最坏情况下的空间使用都无法优于我们的生成图。我们还考虑了边容错(edge fault tolerant, EFT)模型，其定义类似于顶点故障但为边失效。我们表明相同的生成图上界在此设定下同样适用。我们的数据结构下界可扩展至 $k=2$ 的情况（因此我们解决了 $3$-近似下的 EFT 问题），但对于 $k \ge 3$ 的情况，下界降至 $\Omega(f^{1/2 - 1/(2k)} \cdot n^{1 + 1/k})$。我们将填补这一间隙留作开放问题。