稀疏容错 BFS 树

本文研究了设计稀疏容错 BFS 树（简称 FT-BFS 树）的问题，即给定网络 $G$ 的一个稀疏子图 $T$，使得在单条边或顶点失效后，$T$ 的幸存部分 $T'$ 仍包含（$G$ 的幸存部分的）BFS 生成树。我们的主要结果如下：我们提出了一种算法，对于任意 $n$ 顶点图 $G$ 和源节点 $s$，构建一个以 $s$ 为根的（单边失效）FT-BFS 树，其边数为 $O(n \cdot \min\{\Depth(s), \sqrt{n}\})$，其中 $\Depth(s)$ 是以 $s$ 为根的 BFS 树的深度。这一结果得到了一个匹配下界的补充，表明存在某些 $n$ 顶点图及源节点 $s$，使得任何以 $s$ 为根的边（或顶点）FT-BFS 树都具有 $\Omega(n^{3/2})$ 条边。随后，我们考虑了容错多源 BFS 树（简称 FT-MBFS 树），旨在为某个源子集 $S\subseteq V$ 中的每个源 $s\in S$（在失效发生后）提供一棵以该源为根的 BFS 树。同样，我们给出了紧确界，表明存在一种多项式时间算法，对于任意 $n$ 顶点图和大小为 $\sigma$ 的源集 $S \subseteq V$，能够从每个源 $s_i \in S$ 构建一个（单次失效）FT-MBFS 树 $T^*(S)$，其边数为 $O(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$；另一方面，也存在某些 $n$ 顶点图及基数为 $\sigma$ 的源集 $S \subseteq V$，使得任何源自 $S$ 的 FT-MBFS 树都具有 $\Omega(\sqrt{\sigma}\cdot n^{3/2})$ 条边。最后，我们提出了一种用于构建 FT-BFS 和 FT-MBFS 结构的 $O(\log n)$ 近似算法。后者得到了一个硬度结果的补充，即在标准复杂度假设下，不存在针对这些问题的 $\Omega(\log n)$ 近似算法。