基于叶龄计算子集反馈顶点集

在弦图子类中计算行为不同的一个典型例子是 \textsc{Subset Feedback Vertex Set} (SFVS) 问题：给定一个顶点加权图 $G=(V,E)$ 和一个集合 $S\subseteq V$，SFVS 问题要求找到一个最小权重的顶点集，使其与所有包含 $S$ 中顶点的圈相交。已知 SFVS 在区间图上可多项式时间求解，而在分裂图上 SFVS 仍为 \NP 完全的，从而在弦图上也是 \NP 完全的。为了更好地理解 SFVS 在弦图子类上的复杂性，我们利用树模型的结构性质来应对 SFVS 的困难性。此处我们考虑 \emph{叶龄}(leafage) 的若干变体，其度量树模型中叶子的最小数目。我们证明 SFVS 可在叶龄有界的每个弦图上多项式时间求解。特别地，给定一个具有叶龄 $\ell$ 的 $n$ 顶点弦图，我们提供运行时间为 $n^{O(\ell)}$ 的 SFVS 算法。我们通过证明 SFVS 以 $\ell$ 为参数时是 \W[1]-难的来补充我们的结果。为进一步推进我们的正面结果，自然要考虑叶龄的一个轻微推广，即 \emph{顶点叶龄}(vertex leafage)，其度量树模型所有子树中叶子数的最大值的最小值。然而，我们证明不太可能获得类似结果，因为我们证明了 SFVS 在无向路径图上仍是 \NP 完全的，即顶点叶龄至多为二的图。此外，我们强化了先前已知的 SFVS 在有根路径图上的多项式时间算法，有根路径图构成了无向路径图和 mim-width 为 1 的图的一个真子类。