反馈顶点集与伪森林删除集的多面体性质

我们考虑无向图中的反馈顶点集问题（FVS）。FVS 的输入为一个无向图 $G=(V,E)$ 及非负顶点代价。目标是找到代价最小的顶点子集 $S \subseteq V$，使得 $G-S$ 无环。FVS 是著名的 NP 难问题，且在唯一博弈猜想下，对任意固定的 $\epsilon > 0$ 不存在 $(2-\epsilon)$-近似。存在组合 $2$-近似算法以及基于原始对偶的 $2$-近似。尽管这些算法已存在数十年，目前仍没有已知的、可多项式时间求解且可证明积分间隙至多为 $2$ 的 FVS 线性规划松弛。近期工作（Chekuri 与 Madan，SODA '16）针对更一般的问题即子集 FVS 提出了多项式规模的 LP 松弛，并证明其对于子集 FVS 的积分间隙至多为 $13$，从而对于 FVS 亦如此。受此知识缺口的推动，我们对 FVS 及相关问题开展多面体研究。本文中，我们为 FVS 构建了可多项式时间求解 LP 松弛且积分间隙至多为 $2$ 的新整数线性规划（ILP）。此过程中的新见解也使我们证明（Chekuri 与 Madan，SODA '16）的公式对 FVS 的积分间隙至多为 $2$。我们在 FVS 上的结果受伪森林删除集问题（PFDS）的新公式与多面体结果的启发。而我们对 PFDS 的公式又受其与最密子图问题联系的启发。我们还对 FVS 的一个 LP 松弛提出一个极值点性质猜想，并通过 PFDS 的相应结果为该猜想提供证据。