同时反馈顶点集：一个参数化视角

给定图族 $\mathcal{F}$、图 $G$ 和正整数 $k$，$\mathcal{F}$-删除问题询问是否可从 $G$ 中删除至多 $k$ 个顶点以得到属于 $\mathcal{F}$ 的图。$\mathcal{F}$-删除推广了许多经典的图问题，如顶点覆盖(Vertex Cover)、反馈顶点集(Feedback Vertex Set)和奇环截线(Odd Cycle Transversal)。图 $G = (V, \cup_{i=1}^{\alpha} E_{i})$（其边集被划分为 $\alpha$ 个颜色类）称为 $\alpha$-边染色图。$\mathcal{F}$-删除问题在边染色图上的自然推广是 $\alpha$-同时 $\mathcal{F}$-删除问题。在后一问题中，给定 $\alpha$-边染色图 $G$，目标是找到大小至多为 $k$ 的顶点集 $S$，使得每个图 $G_i \setminus S$（其中 $G_i = (V, E_i)$ 且 $1 \leq i \leq \alpha$）都属于 $\mathcal{F}$。本文中，我们研究 $\mathcal{F}$ 为森林族时的 $\alpha$-同时 $\mathcal{F}$-删除问题。换言之，我们聚焦于 $\alpha$-同时反馈顶点集($\alpha$-SimFVS)问题。在算法方面，我们展示了与其经典对应问题类似，对于任意固定常数 $\alpha$，以 $k$ 为参数的 $\alpha$-SimFVS 是固定参数可处理的(FPT)且容许多项式核。具体地，我们给出运行时间为 $2^{O(\alpha k)}n^{O(1)}$ 的算法以及具有 $O(\alpha k^{3(\alpha + 1)})$ 个顶点的核。我们算法的运行时间意味着即使当 $\alpha \in o(\log n)$ 时 $\alpha$-SimFVS 也是 FPT。我们通过证明当 $\alpha \in O(\log n)$（其中 $n$ 为输入图的顶点数）时 $\alpha$-SimFVS 变为 W[1]-困难来补充这一正面结果。我们的正面结果回答了 Cai 和 Ye (MFCS 2014) 提出的开放问题之一。