同时反馈边集：一种参数化视角

本文考虑同时反馈边集(Sim-FES)问题。在该问题中，输入为一个$n$顶点图$G$、一个整数$k$以及一个着色函数${\sf col}: E(G) \rightarrow 2^{[\alpha]}$，目标是检查是否存在$G$中一个基数至多为$k$的边子集$S$，使得对所有$i \in [\alpha]$，$G_i - S$是无环的。这里，$G_i=(V(G), \{e\in E(G) \mid i \in {\sf col}(e)\})$且$[\alpha]=\{1,\ldots,\alpha\}$。当$\alpha =1$时，该问题可在多项式时间内求解。我们通过从立方图上的顶点覆盖归约，证明当$\alpha =3$时Sim-FES是NP难的。同一归约表明，除非ETH失败，否则该问题不存在运行时间为$O(2^{o(k)}n^{O(1)})$的算法。这一困难结果由一个运行时间为$O(2^{\omega k\alpha+\alpha \log k} n^{O(1)})$的Sim-FES FPT算法所补充，其中$\omega$是矩阵乘法运行时间中的指数。同一算法为$\alpha =2$的情形给出了一个多项式时间算法。我们还给出了一个具有$(k\alpha)^{O(\alpha)}$个顶点的Sim-FES核。最后，我们考虑最大同时无环子图问题。这里，输入是一个图$G$、一个整数$q$以及一个着色函数${\sf col}: E(G) \rightarrow 2^{[\alpha]}$。问题是是否存在$G$中一个基数至少为$q$的边子集$F$，使得对所有$i\in [\alpha]$，$G[F_i]$是无环的。这里，$F_i=\{e \in F \mid i \in \textsf{col}(e)\}$。我们给出了一个运行时间为$O(2^{\omega q \alpha}n^{O(1)})$的FPT算法。