基于最佳（或良好）替换边的有效边容错单源生成器

计算给定 $n$ 顶点 $m$ 边无向加权图 $G$ 的生成树 $T$ 的所有最佳替换边（ABSE），意味着对于 $T$ 的每条边 $e$，选择一个对应的非树边 $f$，使得用 $f$ 替换 $e$ 后得到的生成树满足某种最优性准则（该准则自然地根据 $T$ 原本所要实现的某个目标函数来定义）。高效求解 ABSE 问题现已成为一个经典的算法问题，因为它提供了一种在基于树的通信网络中应对（瞬时）边失效的非常成功的方法：只需将失效边替换为其相应的替换边，即可通过最小化重路由与设置成本迅速恢复连通性。在本文中，我们针对 $T$ 为 $G$ 的单源最短路径树的情况求解了 ABSE 问题，并且我们选定的两个替换准则旨在最小化从源点出发的所有路径在替换树中的最大或平均拉伸。考虑到这些准则，所得结构可被视为边容错单源生成器。对此，我们提出了两种高效算法，分别运行于 $O(m n +n^2 \log n)$ 和 $O(m n \log \alpha(m,n))$ 时间内，并证明了所保证的（分别为最大或平均）拉伸因子等于 3，且该界是紧的。此外，对于最大拉伸，我们还提出了一种近线性的 $O(m \log \alpha(m,n))$ 时间算法，用于计算一组良好替换边，与相应的最佳替换边（BSE）所提供的最大拉伸相比，每条边都将保证 $3/2$（紧）的最大拉伸相对近似因子。令人惊讶的是，此前对于这两个非常自然的替换问题尚无任何已知结果。