Steiner 连通性的近似最优顶点容错标签

我们提出了一种紧凑的标签方案，用于确定图中指定的终端集合在发生任意 $f$ 个（或更少）顶点故障后是否保持连通。对于具有终端集 $U \subseteq V$ 的 $n$ 顶点图 $G=(V,E)$，$f$-FT Steiner 连通性标签方案为 $G$ 的顶点提供标签，使得仅给定 $V$ 的任意子集 $F \subseteq V$（满足 $|F| \leq f$）的标签，即可确定 $U$ 在 $G-F$ 中是否保持连通。主要的复杂度度量是最大标签长度。全局连通性的特例 $U=V$ 最近由 Jiang, Parter 和 Petruschka 进行了研究，他们提供了 $n^{1-1/f} \cdot \mathrm{poly}(f,\log n)$ 位的标签。根据 Long, Pettie 和 Saranurak 的下界，这在相差 $\mathrm{poly}(f,\log n)$ 因子的意义下是近似最优的。我们的方案对于一般的 $U \subseteq V$ 实现了 $|U|^{1-1/f} \cdot \mathrm{poly}(f, \log n)$ 位的标签，这对于任意给定大小的终端集 $|U|$ 都是近似最优的。为了处理终端集，我们的方法与 Jiang 等人不同。我们使用由 Duan 和 Pettie 的分解定理产生的结构良好的 $U$ 的 Steiner 树，并绕过了对 Nagamochi-Ibaraki 稀疏化的需求。