针对有界度故障的连通性证书：更简单、更优且支持顶点故障

$f$-边（或顶点）连通性证书是一个稀疏子图，在最多 $f$ 条边（或顶点）失效时仍能保持连通性。众所周知，任何 $n$-顶点图都存在具有 $\Theta(f n)$ 条边的 $f$-边（或顶点）连通性证书（Nagamochi 和 Ibaraki, Algorithmica 1992）。最近的一项工作（Bodwin, Haeupler 和 Parter, SODA 2024）引入了一种新的且相当强的连通性证书变体，它能在任何具有有界度的失效边集下保持连通性。对于每个 $n$-顶点图 $G=(V,E)$ 和度数阈值 $f$，$f$-边故障度（EFD）证书是 $G$ 的一个子图 $H \subseteq G$，其保证如下：对于任何满足 $deg(F)\leq f$ 的子集 $F \subseteq E$ 以及每对顶点 $u,v \in V$，$u$ 和 $v$ 在 $H - F$ 中连通当且仅当它们在 $G - F$ 中连通。例如，$1$-EFD 证书能在任何匹配边集 $F$ 失效时保持连通性（因此可能有 $|F|=\Theta(n)$）。在他们的工作中，[BHP'24] 提出了一种基于扩展图的方法（例如，使用扩展图分解和扩展图路由工具）来计算具有 $O(f n \cdot poly(\log n))$ 条边的 $f$-EFD 证书。他们还给出了 $\Omega(f n\cdot \log_f n)$ 的下界，因此对于 $f=O(1)$ 为 $\Omega(n\log n)$。在这项工作中，我们确定了 $f$-EFD 证书的最优存在性大小界（至多相差常数因子），并将其扩展以支持具有有界度的顶点故障（其中每个顶点至多与 $f$ 个故障顶点相邻）。具体而言，我们证明对于每个 $n>f/2$，任何 $n$-顶点图都存在具有 $O(f n \cdot \log(n/f))$ 条边的 $f$-EFD（和 $f$-VFD）证书，并且该界是紧的。与先前的工作相比，我们的上界论证要简单得多，没有使用扩展图，仅利用了有界度边割和顶点割的基本结构。