基于扩张层次结构的边和顶点故障连通性标记方案

我们考虑为图 $G$ 的顶点和边分配简短标签的问题，使得给定查询 $\langle s,t,F\rangle$（其中 $|F|\leq f$）时，仅凭借 $F\cup\{s,t\}$ 的标签即可确定 $s$ 和 $t$ 在 $G-F$ 中是否仍然连通。该问题在 $F\subset E$（边故障）时被考虑，正确性以高概率（w.h.p.）或确定性方式保证；也在 $F\subset V$（顶点故障）时被考虑，两者都以高概率或确定性方式保证。我们的主要结果如下。 [确定性边故障] 我们给出一种新的确定性边故障标记方案，使用 $\tilde{O}(\sqrt{f})$ 位标签，可在多项式时间内构建。这改进了 Dory 和 Parter 的 [PODC 2021] 存在性界限 $O(f\log n)$（需要指数时间计算）以及 Izumi、Emek、Wadayama 和 Masuzawa [PODC 2023] 的高效 $\tilde{O}(f^2)$ 位方案。我们的构造使用改进的边扩张层次结构和基于 Reed-Solomon 码的分布式编码技术。 [确定性顶点故障] 我们将 Parter、Petruschka 和 Pettie 的 [STOC 2024] 确定性 $O(f^7\log^{13} n)$ 位顶点故障标记方案改进为 $O(f^4\log^{7.5} n)$ 位，利用改进的顶点扩张层次结构和更好的快捷图稀疏化。 [随机化边/顶点故障] 我们将 Dory 和 Parter 的 [PODC 2021] 随机化边故障标记方案的大小从 $O(\min\{f+\log n, \log^3 n\})$ 位改进为 $O(\min\{f+\log n, \log^2 n\log f\})$ 位，削减了一个 $\log n/\log f$ 的因子。我们也将 Parter、Petruschka 和 Pettie 的 [STOC 2024] 随机化顶点故障标记方案的大小从 $O(f^3\log^5 n)$ 位改进为 $O(f^2\log^6 n)$ 位，这更接近其 $\Omega(f)$ 位下界。