短标签无线电网络中的确定性规模发现与拓扑识别

我们考虑以简单无向连通图建模的无线电网络中的基本问题：规模发现与拓扑识别。规模发现要求所有节点输出图中节点数（称为规模），而拓扑识别任务中每个节点须学习图拓扑及其在其中的位置。在无线电网络中，节点在同步轮次中通信且同轮启动。每轮中节点可向所有邻居发送同一消息，或保持静默并监听。在接收端，节点 $v$ 在给定轮次听到邻居 $w$ 的消息，当且仅当 $v$ 在该轮监听，且 $w$ 是该轮中唯一发送的邻居。若节点 $v$ 有多于一个邻居在给定轮次发送，则 $v$ 处发生冲突。我们不假设冲突检测：冲突时节点 $v$ 听不到任何内容。上述各问题的确定性算法时间即其求解所需的最坏情况轮数。我们的目标是在任意无线电网络中构建用于规模发现与拓扑识别的短标签方案，并设计使用这些方案的高效确定性算法。对规模发现，我们构建长度为 $O(\log\log\Delta)$ 的标签方案，并设计使用该方案且运行时间为 $O(\log^2 n)$ 的算法，其中 $n$ 为图规模。我们还证明当标签方案为最优长度时，规模发现的时间复杂度 $O(\log^2 n)$ 是最优的。对拓扑识别，我们构建长度为 $O(\log\Delta)$ 的标签方案，并设计使用该方案且运行时间为 $O\left(D\Delta+\min(\Delta^2,n)\right)$ 的算法。我们还证明该标签方案的长度在渐近意义下最优。