面向无线电网络中快速确定性通信的最优长度标记方案

我们考虑无穷网络中两种基本通信任务：广播（信息从单个源节点传播至所有节点）和 gossiping（每个节点持有消息，所有消息需传递至所有节点）。节点被分配标记，即二进制字符串（不必互不相同）。每个节点均知晓自身标记，可将其作为参数在相同的确定性算法中使用。标记方案的长度定义为标记长度的最大值。目标在于寻找上述任务的 asymptotically 最优长度标记方案，并设计基于该最优长度标记的快速确定性分布算法。我们的主要结果涉及广播。我们证明存在一种常数长度的标记方案，支持在时间 $O(D+\log^2 n)$ 内完成广播，其中 $D$ 为网络直径，$n$ 为节点数。该广播时间改进了 Ellen 和 Gilbert（SPAA 2020）目前最佳常数长度标记下广播的 $O(D\log n + \log^2 n)$ 时间。它也与已知拓扑结构中广播的最优时间相匹配。因此，我们表明，选取常数长度的节点标记后，即可在分布式方式下实现最优的集中式广播时间。这或许是本文最令人惊讶的发现。我们通过一种称为 2 高度保序树（2-height respecting tree）的新颖方法论工具实现了上述结果。随后，我们将广播算法应用于解决 gossiping 问题。我们得到一个在时间 $O(D + \Delta\log n + \log^2 n)$ 内工作的 gossiping 算法，使用长度 $O(\log \Delta)$ 的最优标记方案，其中 $\Delta$ 为最大度。我们的算法时间与已知拓扑结构中最佳 gossiping 时间相同。