利用短标签确定无线网络的规模与直径

网络的节点数称为其规模，网络节点间最大距离称为其直径，是最重要的网络参数之一。知晓规模和/或直径是许多分布式网络算法的先决条件。无线网络是具备无线传输与接收能力的节点集合。它被建模为简单无向图，其节点在同步轮次中通信。在每轮中，节点可向所有邻居发送消息，或保持静默并监听。在接收端，若节点 $v$ 在第 $i$ 轮监听，且 $w$ 是其在该轮唯一发送的邻居，则 $v$ 在第 $i$ 轮听到来自邻居 $w$ 的消息。若 $v$ 在某轮监听且多个邻居在该轮发送，则 $v$ 处发生冲突。若 $v$ 在某轮发送，则它听不到任何信息。若监听节点能区分冲突与静默，则称网络具有冲突检测能力，否则无冲突检测。我们考虑规模发现和直径发现任务：在具有冲突检测的未知无线网络中找出其规模（相应地为直径）。所有节点必须使用确定性算法输出网络的规模（相应地为直径）。节点具有作为二进制字符串的标签。标记方案的长度是标签的最大长度。我们专注于以下问题：1. 在所有最大度 $\Delta$ 的无线网络中，允许规模发现的最短标记方案是什么？2. 在所有无线网络中，允许直径发现的最短标记方案是什么？我们证明允许规模发现的标记方案最小长度为 $\Theta(\log\log \Delta)$。相比之下，我们证明直径发现可使用恒定长度的标记方案完成。