网格图的无线电数

无线电数问题使用图论模型来模拟无线网络上的最优频率分配。连通图$G$的无线电标号是一个函数$f:V(G) \to \mathbb Z_{0}^+$，使得对于每一对顶点$u,v \in V(G)$，有$\lvert f(u)-f(v)\rvert \ge \text{diam}(G) + 1 - d(u,v)$，其中$\text{diam}(G)$表示$G$的直径，$d(u,v)$表示顶点$u$和$v$之间的距离。令$\text{span}(f)$为分配给$V(G)$的最大标号和最小标号之差。那么，图$G$的\textit{无线电数}$\text{rn}(G)$定义为$G$的所有无线电标号中$\text{span}(f)$的最小值。到目前为止，关于网格图无线电数的结果很少：2009年Calles和Gomez给出了正方形网格的上界和下界，2008年Flores和Lewis未能完全确定梯子图（2×$n$网格）的无线电数。在本文中，我们完全确定了$a,b>2$时网格图$G_{a,b}$的无线电数，刻画了问题的三个子情形，并为每个子情形提供了闭式解。这些结果对无线网络（如基站和环境传感器）中的射频分配优化具有意义。