树与完全图笛卡尔积的无线电标号数

图 $G$ 的无线电标号是一个映射 $f : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2,\ldots\}$，使得对于 $G$ 的每一对不同的顶点 $u,v$，都有 $|f(u)-f(v)|\geq diam(G) + 1 - d(u,v)$，其中 $diam(G)$ 是 $G$ 的直径，$d(u,v)$ 是 $u$ 和 $v$ 在 $G$ 中的距离。$G$ 的无线电标号数 $rn(G)$ 是使得 $G$ 允许一个满足 $\max\{f(v):v \in V(G)\} = k$ 的无线电标号 $f$ 的最小整数 $k$。在本文中，我们给出了树与完全图的笛卡尔积的无线电标号数的一个下界，并给出了达到该下界的两个充分必要条件。我们还给出了达到该下界的三个充分条件。我们确定了达到该下界的层级正则树与完全图的笛卡尔积的无线电标号数。利用我们的结果，可以简捷地推导出 [Radio number for the product of a path and a complete graph, J. Comb. Optim., 30 (2015), 139-149] 中得到的路径与完全图的笛卡尔积的无线电标号数。