图的无线段数的下界

图 $G$ 的无线段标记是一个映射 $\vp : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2,...\}$，使得对 $G$ 的每对相异顶点 $u,v$ 均有 $|\vp(u)-\vp(v)|\geq \diam(G) + 1 - d(u,v)$，其中 $\diam(G)$ 与 $d(u,v)$ 分别为 $G$ 的直径与 $G$ 中 $u$ 和 $v$ 之间的距离。图 $G$ 的无线段数 $\rn(G)$ 是最小的数 $k$，使得 $G$ 具有满足 $\max\{\vp(v):v \in V(G)\}$ = $k$ 的无线段标记。在本文中，我们略微改进了 Das 等人在 [5] 中给出的图无线段数下界，并给出达到该下界的充要条件。利用此结果，我们确定了路 $P_{n}$ 与 Petersen 图 $P$ 的笛卡尔积的无线段数。我们对 Kim 等人在 [6] 中给出的路 $P_{n}$ 与完全图 $K_{m}$ 的笛卡尔积的无线段数给出了一个简短证明。