树的无线电数

图 $G$ 的无线电标号是一个映射 $f: V(G) \rightarrow \{0, 1, 2, \ldots\}$，使得对于 $G$ 的每一对不同的顶点 $u, v$，均满足 $|f(u)-f(v)|\geq d + 1 - d(u,v)$，其中 $d$ 是 $G$ 的直径，$d(u,v)$ 是 $G$ 中 $u$ 和 $v$ 之间的距离。$G$ 的无线电数是使得 $G$ 具有满足 $\max\{f(v) : v \in V(G)\} = k$ 的无线电标号 $f$ 的最小整数 $k$。我们给出了树的无线电数下界可达的充分必要条件，使同一界可达的另外两个关于树的充分条件，以及树的无线电数的一个上界。利用这些结果，我们确定了三族树的无线电数。