图的最优无线电标号

令 $\mathbb{N}$ 为正整数集。图 $G$ 的无线电标号是一个映射 $\varphi : V(G) \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$，使得对 $G$ 的每对相异顶点 $u,v$，不等式 $|\varphi(u)-\varphi(v)| \geq diam(G) + 1 - d(u,v)$ 成立，其中 $diam(G)$ 与 $d(u,v)$ 分别为 $G$ 的直径与 $u$ 和 $v$ 在 $G$ 中的距离。图 $G$ 的无线电数 $rn(G)$ 是最小的数 $k$，使得 $G$ 具有无线电标号 $\varphi$ 且 $\max\{\varphi(v) : v \in V(G)\}$ = $k$。Das 等人 [Discrete Math. $\mathbf{340}$(2017) 855-861] 给出了求图无线电数下界的方法。在 [Algorithms and Discrete Applied Mathematics: CALDAM 2019, Lecture Notes in Computer Science $\mathbf{11394}$, springer, Cham, 2019, 161-173] 中，Bantva 改进了该方法以求得图无线电数的改进下界，并给出了达到改进下界的充要条件。本文给出了达到图无线电数改进下界的另一个有用的充要条件。利用该结果，确定了路与轮图笛卡尔积的无线电数。